几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）

书叉脸困觉猪2

几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）是一种连续时间随机过程，通常用来描述某些财务和经济学领域中的现象，比如股票价格的变化或汇率的波动等。它的特点是在每个时间段内的增长率与当前值成比例，而且这个比例服从正态分布。
几何布朗运动可以用如下的随机微分方程来表示：



GBM

其中， S_t 表示在时间 t 时刻的股票价格或其他随机变量的值， \mu 表示随机变量在单位时间内的平均增长率， \sigma 表示随机变量的波动率， W_t 表示布朗运动（Brownian Motion），即标准布朗运动的增长率为1，方差为 t 的正态分布随机变量。
几何布朗运动的解可以通过随机微分方程的求解得到。​
可以通过使用伊藤引理，将其写成如下的形式：


两边同时对其进行积分，得到：


​其中， S_0 表示在时间 t=0 时刻随机变量的初始值。将上式两边同时取指数，可得：



the solution of GBM

这就是几何布朗运动的解，它表示在随机增长率的作用下，随机变量在时间$t$时刻的值与初始值之间的关系。可以看到，随着时间的增加，随机变量的值会以指数形式增长或下降，增长率与波动率成正比。
需要注意的是，几何布朗运动是一种随机过程，因此其解也是一个随机变量，即随机变量在每个时间点的取值都是一个随机变量。同时，由于随机变量的增长率与其当前值成比例，因此几何布朗运动的解不是一个平稳过程，其统计性质会随着时间的变化而发生变化。
几何布朗运动的概率密度函数是已知的，具体为：
p(S) =\frac{1}{Sσ\sqrt{2πt}}exp[-\frac{[ln(\frac{S}{S(0)})- (μ - \frac{σ^2}{2})t]^2}{ 2σ^{2}t}]
其中，x表示随机变量的取值，t表示时间， \mu 和 \sigma 分别表示随机变量在单位时间内的平均增长率和标准差。
几何布朗运动的特点在于，随机变量的增长率是与当前值成比例的。这样，当随机变量的值越大，增长率也越大，因此，随着时间的推移，随机变量的增长速度会越来越快，导致其值的波动会变得更加剧烈。
可以看出，几何布朗运动的概率密度函数并不是平稳的，它依赖于时间t和随机变量x，因此几何布朗运动没有平稳概率密度。
以下是用MATLAB绘制几何布朗运动概率密度函数的三维图像的程序：
% 设置参数
mu = 0.1;
sigma = 0.2;
t = 1:0.1:10;
x = 0:0.1:10;

% 计算概率密度函数
[X, T] = meshgrid(x, t);
pdf = 1./(sqrt(2*pi.*T).*X.*sigma).*exp(-(log(X)-(mu-sigma^2/2).*T).^2./(2*sigma^2.*T));

% 绘制三维图像
figure;
surf(X, T, pdf);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('PDF');
title('Geometric Brownian Motion PDF');
几何布朗运动在金融学中有广泛应用，因为它可以用来描述股票价格和汇率等金融资产的波动情况，同时还可以用来进行期权定价等方面的研究。